आपने शायद गणित और इंजीनियरिंग के व्याख्यान में फ़ूरिये परिवर्तन (Fourier Transformation) शब्द सुना होगा। इसे किसी न किसी रूप में भय और मोहकता महसूस की जाती है। फ़ूरिये परिवर्तन, सिग्नल प्रसंस्करण, छवि विश्लेषण और डेटा संपीड़न के क्षेत्र में व्यापक रूप से इस्तेमाल होने वाली एक गणितीय विधि है। लेकिन, फ़ूरिये परिवर्तन क्या है? और इसे हर जगह क्यों पाया जाता है? आइए इन पहेलियों और अधिक का पता लगाते हैं।
फ़ूरिये परिवर्तन – आधुनिक डेटा विश्लेषण का आधार
1.1 फ़ूरिये परिवर्तन क्या है?
सरल शब्दों में कहें तो, फ़ूरिये परिवर्तन एक गणितीय विधि है जो सिग्नल को समय (या स्थान) डोमेन और तारंग डोमेन के बीच रूपांतरित करने के लिए उपयोग होती है। इसे फ़्रांसीसी गणितज्ञ जॉन-बातिस्ट जोज़ेफ़ फ़ूरिये के नाम पर रखा गया है। पहली नज़र में, यह काफी सारी जानकारी भरी हुई चीज़ की तरह दिखता है, लेकिन आगे बढ़ने पर हम इस रोमांचक अवधारणा को गहराई से समझेंगे।
संगीत के गाने में, कई अलग-अलग स्वरों का संयोजन होता है। हर एक स्वर अलग-अलग उच्चता और लंबाई के ध्वनि को उत्पन्न करता है। इसे हम संगीत को “समय डोमेन” में व्यक्त करने के रूप में कह सकते हैं।
वहीं, संगीत में हम देख सकते हैं कि गाने में मौजूद “तारंगा” यानी ध्वनि की ऊँचाई के हर स्तर की जानकारी हमें मिल सकती है। इसे हम संगीत को “तारंग डोमेन” में व्यक्त करने के रूप में कह सकते हैं।
इन दोनों के बीच जाना फ़ूरिये परिवर्तन है। क्या आपको यह अनुमान लगाएं कि आपको दोस्त के घर से पार्क जाने के लिए निर्देशिका की जरूरत पड़ेगी। आप यात्रा करके अपने दोस्त के घर से पार्क जा सकते हैं। यह वह उदाहरण है जो समय डोमेन से तारंग डोमेन में “यात्रा” करने के रूप में दर्शाता है।
उसी तरह, पार्क में खेलने के बाद, आप फिर से अपने दोस्त के घर वापस जाना चाहेंगे, तो आप क्या करेंगे? फिर से आपको निर्देशिका की जरूरत पड़ेगी। यदि आपके पास पार्क से दोस्त के घर लौटने के लिए निर्देशिका हो, तो आप लौट सकते हैं। यह तारंग डोमेन से समय डोमेन में “यात्रा” करने के रूप में दर्शाता है। इस “यात्रा” की सहायता, अर्थात् समय डोमेन और तारंग डोमेन के बीच, हम फ़ूरिये परिवर्तन कहते हैं। इसलिए, फ़ूरिये परिवर्तन समय डोमेन की जानकारी (उदाहरण के लिए, संगीत का गाना) और तारंग डोमेन की जानकारी (उस गाने की ऊँचाई के हर स्तर की वितरण) को परस्पर रूपांतरित करने के लिए एक उपकरण है।
तारंग डोमेन की जानकारी हासिल करने का उद्देश्य है कि हमें जानने का पता चले कि कितनी ऊँचाई की संगीतीय स्वर शामिल हैं (तारंग डोमेन)। यदि हम इसे जानते हैं, तो हम उदाहरण के रूप में, उस गाने की सामग्री का कुल माहौल का पता लगा सकते हैं, जैसे कि उस गाने का वातावरण स्वर्गीय है या उदासी भरा है, या उत्साहपूर्ण है या शांत है इत्यादि।
साथ ही, संगीत के पेशेवर लोग इस तारंग जानकारी का उपयोग करके गाने को मिश्रित करते हैं, या आवाज़ को समायोजित करते हैं। उदाहरण के लिए, संगीत निर्माता संगीत गायन या संगीत वादन के ध्वनि को संतुलित ढंग से सुनने के लिए हर ध्वनि (तारंगा) की वृद्धि का समयगत अनुमान लगाते हैं। इसे करने के लिए, उन्हें प्रत्येक ध्वनि (तारंगा) में कितना सामग्री शामिल है, यह जानने की आवश्यकता होती है।
इसी तरह, तारंग जानकारी संगीत को बनाने और समझने के लिए महत्वपूर्ण टूल होती है। इसलिए, फ़ूरिये परिवर्तन का उपयोग होता है।
1.2 उत्पत्ति और ऐतिहासिक महत्व
फ़ूरिये परिवर्तन की उत्पत्ति, 19वीं सदी की शुरुआत तक पहुँच सकती है।
उन्होंने अध्ययन किया कि जब किसी वस्तु का एक अंश गर्म होता है, तो गर्माहट (ऊष्मा) धीरे-धीरे बाकी हिस्सों में फैलती है (इसे “गर्माहट प्रचार” कहा जाता है)। हालांकि, इसके बारे में एक सटीक संख्यात्मक विधि से समझाने के लिए कोई गणितीय तरीका अभी तक मौजूद नहीं था।
इसलिए, उन्होंने एक नया तरीका सोचा जो गर्माहट को समझने में मदद करेगा। उन्होंने सुझाव दिया कि गर्माहट को समय के साथ कैसे बदलते हुए दर्शाने के लिए, इन तारंगों को जोड़कर एक अद्यतितवादी तरंग (झूलती हुई तारंग) के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। यही “फ़ूरिये श्रृंखला” की शुरुआत है।
फ़ूरिये श्रृंखला एक ऐसी सोच है जिसके अनुसार किसी भी रूप की तारंग आदि को सादा सिन प्रतित्व (झूलती हुई तारंग) के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। यह उस समय की मानसिकता से बड़ी मात्रा में अलग होती है जब लोग “तारंग” के रूप में सोच रहे थे।
इसके अलावा, फ़ूरिये का सिद्धांत गणितीय रूप में असीमित झूलती हुई तारंगों के अंश से तारंग आदि को प्रतिष्ठित करने का तरीका है। इसलिए, इसे पूरी तरह से समझना मुश्किल होता है, और इसके सच्चाई को मूल्यांकन करना भी कठिन होता है। इसी कारण से, फ़ूरिये की नई सिद्धांत को पहले में काफी विरोध प्राप्त हुआ था, लेकिन सत्य हमेशा विजयी होता है और फ़ूरिये की अवधारणा स्वीकार की गई। इससे फ़ूरिये परिवर्तन का विकास हुआ और यह गणित और भौतिकी के इतिहास का महत्वपूर्ण स्मारक बना।
1.3 फ़ूरिये परिवर्तन का विकास और वास्तविक दुनिया में उपयोग
फ़ूरिये की नई विचारधारा, चीज़ों को सरल तारंगी रूप, यानी सादा सिन प्रतित्व के रूप में प्रदर्शित करने की क्षमता रखती है। इसे “फ़ूरिये श्रृंखला” के रूप में जाना जाता है।
हालांकि, उनकी सोच यहां नहीं रुकी। फ़ूरिये ने दिखाया कि सिर्फ़ सादी सिन नहीं, अधिक जटिल तारंगों का भी उपयोग किया जा सकता है। इसका अर्थ है कि किसी भी समय के साथ बदलते हुए किसी भी सिग्नल को, अलग-अलग तारंग वाले समूह के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।
इस दृष्टिकोण का उपयोग करके, समय गण (अर्थात्, समय के साथ बदलता हुआ संकेत) से आवृत्ति गण (अर्थात्, वह संकेत कितनी आवृत्तियों की तरंग को कितना शामिल करता है) में परिवर्तन किया जा सकता है। यह “फ़ूरिये परिवर्तन” की उत्पत्ति है।
इसके अलावा, उलटे से आवृत्ति गण से समय गण में परिवर्तन भी संभव हुआ। इसे “उलट फ़ूरिये परिवर्तन” कहा जाता है। अर्थात्, फ़ूरिये परिवर्तन और उलट फ़ूरिये परिवर्तन के द्वारा, स्वतंत्र रूप से समय गण और आवृत्ति गण के बीच जाना जा सकता है।
ये खोज इंजीनियरिंग, भौतिकी, गणित, छवि प्रसंस्करण, आध्यात्मिकता आदि जैसे कई क्षेत्रों में समस्या के हल में महत्वपूर्ण योगदान देने का कारण बन गयी हैं।
छवि प्रसंस्करण से ध्वनि संकेतीकरण तक, फ़ूरिये परिवर्तन वास्तविक दुनिया में कई अनुप्रयोगों में अनिवार्य हैं। जटिल डेटा को सरल और समझने योग्य टुकड़ों में विभाजित करने की क्षमता, इसे विभिन्न क्षेत्रों में मूल्यवान बनाती हैं।
फ़ूरिये परिवर्तन की गणितीय विवरण को समझना
2.1 फ़ूरिये श्रृंखला बनाम फ़ूरिये परिवर्तन
फ़ूरिये श्रृंखला, तारंगी जैसे फ़ंक्शन को सरल साइन वेव संयोजन के रूप में प्रदर्शित करने का एक तरीका है। वहीं, फ़ूरिये परिवर्तन, अविलंबी संबंध फ़ंक्शन का नियमित सम्मिश्रण है और एम्प्लीट्यूड स्पेक्ट्रम प्रदान करने की क्षमता देता है।
“एम्प्लीट्यूड स्पेक्ट्रम” उस ध्वनि या संकेत के घटक आवृत्तियों की प्रत्येक के अंदर की एम्प्लीट्यूड (यानी, आकार या ताक़त) को दर्शाता है। ध्वनि या संकेत कई विभिन्न आवृत्तियों की तरंगों के मिश्रण के रूप में बनते हैं। प्रत्येक आवृत्ति की तरंगों की ताक़त को दिखाने वाला है, वही एम्प्लीट्यूड स्पेक्ट्रम है।
उदाहरण के रूप में, संगीत जगत में, एम्प्लीट्यूड स्पेक्ट्रम आवाज़ की “रंग” या “स्वरलिपि” तय करता है। उच्च आवृत्ति के एम्प्लीट्यूड के साथ, आवाज़ “चमकीली” या “कठोर” महसूस होती है। विपरीत रूप से, निम्न आवृत्ति के एम्प्लीट्यूड के साथ, आवाज़ “अंधेरी” या “कोमल” महसूस होती है।
ये एम्प्लीट्यूड स्पेक्ट्रम, फ़ूरिये परिवर्तन का उपयोग करके समय गण संकेत (उदाहरण के लिए, संगीत की रिकॉर्डिंग) से हिसाब लगाकर प्राप्त किए जा सकते हैं। अर्थात्, फ़ूरिये परिवर्तन समय गण संकेत को आवृत्ति गण में परिवर्तित करता है और इसके परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाले एम्प्लीट्यूड स्पेक्ट्रम के रूप में प्रदर्शित कर सकता है।
2.2 फ़ूरिये परिवर्तन की गणितीय विवरण को समझना
फ़ूरिये परिवर्तन की केंद्रीय बात फ़ूरिये संबंध संख्या है, जो समय फ़ंक्शन, f(t) को लेता है और इसे आवृत्ति फ़ंक्शन, F(f) में परिवर्तित करता है। शुरू में, इसे समझना कठिन हो सकता है, लेकिन समय के साथ इसमें सुधार होता है जैसे अच्छी वाइन। यहां एक समझने योग्य वीडियो है।
फ़ूरिये परिवर्तन के उपयोग
3.1 संकेत प्रसंस्करण में फ़ूरिये परिवर्तन
संकेत प्रसंस्करण में फ़ूरिये परिवर्तन वास्तव में चमकता है। यह वही है जो गणित हमारी संगीत को बेहतर सुनाई देने के लिए कैसे काम करता है, यह सचमुच अद्भुत है, क्या नहीं?
3.2 छवि विश्लेषण और फ़ूरिये परिवर्तन
फ़ूरिये परिवर्तन ने छवि विश्लेषण क्षेत्र को आधुनिकीकृत किया है और हमें छवि को फ़िल्टर करने, ब्लर करने और एज डिटेक्शन जैसे कार्रवाई करने की क्षमता प्रदान की है।
फ़ूरिये परिवर्तन के छवि विश्लेषण में अनेक अनुप्रयोग हैं, लेकिन उनमें से प्रमुख हैं: छवि के फ़िल्टर करना, संपीड़न करना और एज का पता लगाना।
- छवि फ़िल्टरिंग: फ़ूरिये परिवर्तन छवि से निश्चित आवृत्ति संघटकों को हटाने के लिए प्रयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उच्च आवृत्ति संघटन (छोटे पैटर्न और शोर आदि) को हटाकर छवि को धुंधला बनाने (स्मूदित करने) का प्रभाव होता है। उल्टे, निम्न आवृत्ति संघटन (बड़े संरचना और संरचना आदि) को हटाकर छवि के एज को मजबूत करने का प्रभाव होता है। ये प्रक्रिया छवि को आवृत्ति क्षेत्र में परिवर्तित करके, निश्चित आवृत्ति संघटनों को समायोजित करने के बाद, फिर से समय (स्थान) क्षेत्र में लागू की जाती है।
- छवि संपीड़न: फ़ूरिये परिवर्तन छवि के डेटा मात्रा को कम करने के लिए एक तकनीक के रूप में भी प्रयोग किया जाता है। जेपीईजी (JPEG) जैसे छवि संपीड़न एल्गोरिदम में, फ़ूरिये परिवर्तन की एक प्रकार, यानी डिस्क्रीट कोसाइन परिवर्तन (डीसीटी), का प्रयोग किया जाता है। छवि को आवृत्ति क्षेत्र में परिवर्तित करके, मानवीय दृष्टि के लिए महत्वपूर्ण न होने वाले उच्च आवृत्ति संघटनों को हटा कर, डेटा मात्रा को कम किया जाता है।
- एज का पता लगाना: फ़ूरिये परिवर्तन छवि के एज (सीमा रेखा) का पता लगाने में मदद करता है। यह इसलिए है क्योंकि एज के हिस्से अधिक उच्च आवृत्ति संघटनों को अधिक शामिल करते हैं। आवृत्ति क्षेत्र में उच्च आवृत्ति संघटनों को मजबूत करके, और उन्हें समय (स्थान) क्षेत्र में वापस आने के लिए, एज को स्पष्ट करने में सक्षम होता है।
इन अनुप्रयोगों से दिखता है कि फ़ूरिये परिवर्तन छवि विश्लेषण में बहुत महत्वपूर्ण टूल है।
3.3 फ़ूरिये परिवर्तन और क्वांटम भौतिकी
क्वांटम भौतिकी भी फ़ूरिये परिवर्तन का महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। क्वांटम भौतिकी में, फ़ूरिये परिवर्तन का उपयोग अलग-अलग प्रतीक्रिया प्रतिनिधित्वों के बीच स्थानांतरित करने के लिए किया जाता है।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
प्रश्न 1: फ़ूरिये परिवर्तन का मूल उद्देश्य क्या है?
फ़ूरिये परिवर्तन का मूल उद्देश्य सिग्नल को उसके संरचनात्मक आवृत्तियों में विभाजित करना है। इससे हम जटिल सिग्नल को आवृत्ति क्षेत्र में विश्लेषण कर सकते हैं, जो अक्सर और समझदारी से भरा होता है।
प्रश्न 2: फ़ूरिये परिवर्तन कहाँ प्रयोग किया जाता है?
फ़ूरिये परिवर्तन कई अनुप्रयोगों में प्रयोग किया जाता है, जैसे सिग्नल प्रसंस्करण, छवि विश्लेषण, ध्वनि और वीडियो संपीड़न, क्वांटम भौतिकी, और मशीन लर्निंग इत्यादि।
प्रश्न 3: क्या फ़ूरिये परिवर्तन गैर-आवृत्ति संबंधी संघटनों का निपटान कर सकता है?
हाँ, फ़ूरिये परिवर्तन गैर-आवृत्ति संबंधी संघटनों का निपटान कर सकता है। फ़ूरिये परिवर्तन, जो आवृत्ति संबंधी संघटनों के लिए नहीं होता है, आवृत्ति संघटनों के बाहर भी कार्य करने की कल्पना को विस्तारित करता है।
प्रश्न 4: फ़ूरिये परिवर्तन की खोज किसने की थी?
फ़ूरिये परिवर्तन फ़्रांसीसी गणितज्ञ जॉन-बैटिस्ट जोज़ेफ फ़ूरिये के नाम पर रखा गया है। उनके फ़ूरिये संख्याओं पर की गई शोध ने फ़ूरिये परिवर्तन के विकास की नींव रखी।
प्रश्न 5: इंजीनियर के लिए फ़ूरिये परिवर्तन को समझना महत्वपूर्ण है?
हाँ, फ़ूरिये परिवर्तन को समझना विशेष रूप से सिग्नल प्रसंस्करण, संचार, और नियंत्रण प्रणाली के लिए काम करने वाले इंजीनियर के लिए महत्वपूर्ण है।
प्रश्न 6: फ़ूरिये सीरीज़ और फ़ूरिये परिवर्तन में क्या अंतर है?
फ़ूरिये सीरीज़ एक तरीका है जिसमें एक आवृत्ति या सिग्नल को सादे साइन की विभिन्न जोड़ों के रूप में प्रकट किया जाता है, जबकि फ़ूरिये परिवर्तन समय (या स्थान) डोमेन से आवृत्ति डोमेन में सिग्नल को परिवर्तित करने के लिए प्रयोग किया जाता है और गैर-आवृत्ति संबंधी संघटनों के विश्लेषण को संभव बनाता है।
निष्कर्ष
फ़ूरिये परिवर्तन का अन्वेषण करना, जटिल अवधारणाओं को रोमांचक तरंग और आवृत्ति पैटर्न में परिवर्तित होने के रोमांचक बुद्धिमानी के साथ जानकारी प्राप्त करने की एक रोमांचक बुद्धिमानी से काफी समान होता है। फ़ूरिये के नवाचारी कार्य से लेकर आधुनिक डेटा विश्लेषण में उसकी अपरिहार्य भूमिका तक, फ़ूरिये परिवर्तन गणितीय सोच की सुंदरता और शक्ति का सबूत है। चाहे आप एक निपुण इंजीनियर हों, एक नवाचारी वैज्ञानिक हों, या रुचिकर पाठक हों, फ़ूरिये परिवर्तन क्षेत्र में यात्रा करने से आपको समृद्ध ज्ञान और समझ मिलेगी।
